, (6)

где F(t) - функция распределения наработки до отказа (ресурса, срока службы).

В частности, гамма-процентную наработку до отказа определяют из уравнения

,

где P(t) - вероятность безотказной работы.

Как видно из формулы (6), гамма-процентные показатели равны квантилям соответствующих распределений. Если вероятности, отвечающие этим квантилям, выражают в процентах, то для показателей безотказности обычно задают значения 90; 95; 99; 99,5% и т.д. Тогда вероятность возникновения отказа на отрезке [0; t)] будет составлять 0,10; 0,05; 0,01; 0,005 и т.д. Задаваемые значения для критических отказов должны быть весьма близки к 100%, чтобы сделать критические отказы практически невозможными событиями. Для прогнозирования потребности в запасных частях, ремонтных мощностях, а также для расчета пополнения и обновления парков машин, приборов и установок могут потребоваться гамма-процентные показатели при более низких значениях , например при , что приближенно соответствует средним значениям.

Статистические оценки для гамма-процентных показателей могут быть получены на основе статистических оценок либо непосредственно, либо после аппроксимации эмпирических функций подходящими аналитическими распределениями. Необходимо иметь в виду, что экстраполирование эмпирических результатов за пределы продолжительности испытаний (наблюдений) без привлечения дополнительной информации о физической природе отказов может привести к значительным ошибкам.

Перечисленные показатели равны математическим ожиданиям соответствующих случайных величин, наработки до отказа, ресурса, срока службы, времени восстановления, срока сохраняемости.

Среднюю наработку до отказа вычисляют по формуле

215 × 64 пикс.     Открыть в новом окне

,

где F(t) - функция распределения наработки до отказа,

f(t) - плотность распределения наработки до отказа.

С учетом (3) выражается через вероятность безотказной работы:

.

Статистическая оценка для средней наработки до отказа дается формулой

. (7)

Здесь N - число работоспособных объектов при t = 0;

- наработка до первого отказа каждого из объектов.

Формула (7) соответствует плану испытаний, при котором все объекты испытываются до отказа [2, 3, 7].

Этот показатель введен применительно к восстанавливаемым объектам, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Очевидно, что это должны быть несущественные отказы, не приводящие к серьезным последствиям и не требующие значительных затрат на восстановление работоспособного состояния. Эксплуатация таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работать и продолжает работать до первого отказа; после отказа происходит восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т.д. На оси времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты восстановлений - поток восстановлений. На оси суммарной наработки (когда время восстановления не учитывается) моменты отказов образуют поток отказов. Полное и строгое математическое описание эксплуатации объектов по этой схеме построено на основе теории восстановления [2, 7].

Определению средней наработки на отказ Т, которое приведено в данном стандарте, соответствует следующая формула

, (8)

Здесь t - суммарная наработка, r(t) - число отказов, наступивших в течение этой наработки, М{r(t)} - математическое ожидание этого числа. В общем случае средняя наработка на отказ оказывается функцией t. Для стационарных потоков отказов средняя наработка на отказ от t не зависит.

Статистическую оценку средней наработки на отказ вычисляют по формуле, которая аналогична формуле (8)

, (9)

В отличие от формулы (8) здесь r(t) - число отказов, фактически происшедших за суммарную наработку t.

Формула (9) допускает обобщение на случай, когда объединяются данные, относящиеся к группе однотипных объектов, которые эксплуатируются в статистически однородных условиях. Если поток отказов - стационарный, то в формуле (9) достаточно заменить t на сумму наработок всех наблюдаемых объектов и заменить r(t) на суммарное число отказов этих объектов [3].

Интенсивность отказов определяют по формуле

227 × 52 пикс.     Открыть в новом окне

. (10)

Для высоконадежных систем , так что интенсивность отказов приближенно равна плотности распределения наработки до отказа.

Статистическая оценка для интенсивности отказов имеет вид

, (11)

где использованы те же обозначения, что и в формуле (5).

Аналогично вводится интенсивность восстановления.

Параметр потока отказов определяют по формуле

231 × 58 пикс.     Открыть в новом окне

, (12)

где - малый отрезок наработки,

r(t) - число отказов, наступивших от начального момента времени до достижения наработки t.

Разность представляет собой число отказов на отрезке .

Наряду с параметром потока отказов в расчетах и обработке экспериментальных данных часто используют осредненный параметр потока отказов

. 13)

По сравнению с формулой (12) здесь рассматривается число отказов за конечный отрезок , причем . Если поток отказов стационарный, то параметры, определяемые по формулам (12) и (13), от t не зависят.

Статистическую оценку для параметра потока отказов определяют по формуле

, (14)

которая по структуре аналогична формуле (13). Для стационарных потоков можно применять формулу

,